己亥志(2019年度总结)

前岁戊戌作志姑苏,今岁负笈求学金陵。时日之易逝兮,若川上流水,须臾已逾一载矣。回首己亥,所历之事皆历历在目,故作志以记之——曰游,曰学,曰情。

戊戌霜月,余赴南京大学攻硕。其时河海大学曹公往谒吾师纪公共研太赫兹芯片一事,席间谓其欲得一优生以作数字集成电路。吾因伶俐聪颖,见拜于曹公,方知其欲为真随机数芯片,作文以刊,与会东瀛ISCAS2019。余涉学尚浅,好作文,喜言说,曹公之言深中吾意,遂以诚事之。其间曹公尝发文余,要余详其制以假。历数月,竟成。至流片,已近除夕;然流片期已定,余不得已作图于年关之际,奔忙于交通之间,及近元宵,初成。然陡逢难事,遂赴梁溪研究院求教。此间受益匪浅,乃诸多典籍未有录之。

事毕,余作讲演文稿以备ISCAS2019,几番删改,终成。至己亥五月,经禄口,赴东瀛,奔札幌。至海关,始觉言语不通之弊病,幸纪公工于日语,方致客栈。群贤毕至,少长咸集,论于札幌会议中心,凡五日。会四海洋人,以洋文与其争高下、论短长,所获颇丰。及予登台讲演,但有万全之备,亦变色怅然矣。言毕,诸君问难,幸得南洋理工大学曾公从旁助余,不致见笑。

此番会晤,甚矣吾之新识。科研实非象牙之内,乃江湖尔。为讲师者,必先积其资历,拓其人脉,聚众以谋其私,然后文章乃出,而后项目、基金不可胜数,终至教授。

己亥六月,得纪公举荐,其大人闫公邀余攻博,治器件。因无心此道,故假言推辞。再邀,复辞之。又邀,余始察攻博事。吾尝思攻博之事,欲赴重洋,师夷长技以制夷。又吾爱海泓攻硕加国,若余得攻博其校,则两全其美也。然细考知其几微,故攻博于闫公。其因凡四:一,闫公其人仓廪实,结交广,利培养;二,西洋学仅滞于其表,海内学可深入其里;三,攻研期短,无利治学;四,余欲工器件也。此余攻博四因也。

攻博至今半年有余,所治之学自太赫兹至器件,需识器件之学甚多,凡三月乃成。及至项目,方知不可拘泥,自器件至算法,个中条理,需了然于胸。予尝欲学贯微电,此道几近吾志也。因所学甚深,常思以忘食;因乐于其中,故无所迫。

今岁要事实乃与吾爱海泓偕旅山河,一曰梁溪拈花湾,一曰齐鲁胶澳。拈花之行仓促成于海泓归宁之途;及至家,辄为通行、客栈诸事。三日之行纵览浮生闲趣,除杂思,弃案牍,园中静坐,邑里漫步,赏五灯湖景,徜梵天花海,拈花福点制糕点 ,惠山泥人绘泥人。

己亥八月,乘休假隙,偕海泓往适胶澳以避暑。初至,凉风送爽,宛若金秋。旅居民宿,自为烹饪,仿佛兮若久居之侣,淡然闲适。小青岛上风习习,金沙滩头浪汹汹;驿外栈桥日栖栖,古堡钟鸣声重重;啤酒博物工序奇,晚市宵夜意兴融;海底世界鲸豚戏,情人坝上晚风浓。寥寥五日,所游甚欢。

未几海泓赴加国深造,至此分离两地,情愈笃,思愈切。尝有视讯之便朝夕与闻,聊慰吾心;又有古人驿寄梅花、鱼传尺素,以藉吾情。

旧岁将去,新元复始,愿国泰民安,风调雨顺。

相关双采样

相关双采样技术,是对输出\(v_{out}\left(t\right)\)分别在复位状态\(v_1\left(t\right)\)和信号输出状态\(v_2\left(t\right)\)进行采样,从而消除低频噪声的方法,最终的输出信号为:
\[
v_{out}\left(t\right)=v_2\left(t\right)-v_1\left(t\right)
\]
下面对这一技术进行详细的分析。在对信号\(x\left(t\right)\)进行采样时,得到的输出\(v\left(t\right)\)还包含了系统中的噪声\(n\left(f,t\right)\):
\[
v\left(t\right)=x\left(t\right)+n\left(f,t\right)
\]
其中,\(n\left(f,t\right)\)为随时间和频率变化的噪声。

由于系统的第一次采样发生在传感器复位后的瞬间,因此没有信号,此时的采样值为:
\[
v_1\left(t_1\right)=n\left(f,t_1\right)
\]
当系统进行第二次采样时,采样值为信号和噪声的叠加:
\[
v_2\left(t_2\right)=x\left(t_2\right)+n\left(f,t_2\right)
\]
对上述两次读出的数据做差后可得:
\[
v_2\left(t_2\right)-v_1\left(t_1\right)=x\left(t_2\right)+n\left(f,t_2\right)-n\left(f,t_1\right)
\]
考虑噪声\(n\left(f,t\right)\)由时变噪声\(n_{tv}\left(f,t\right)\)和时不变噪声\(n_{tiv}\left(f\right)\)构成,即:
\[
n\left(f,t\right)=n_{tv}\left(f,t\right)-n_{tiv}\left(f\right)
\]
由此可得,时不变噪声在做差后立即被消除:
\[
v_2\left(t_2\right)-v_1\left(t_1\right)=x\left(t_2\right)+n_{tv}\left(f,t_2\right)-n_{tv}\left(f,t_1\right)
\]
对于时变噪声,引入\(z\)变换得:
\[
v\left(t\right)=x\left(t\right)+n_{tv}\left(f,t\right)(1-z^{-1})
\]
根据双线性变换公式,将系统从\(z\)域变换至\(s\)域:
\[
z=\frac{1+sT/2}{1-sT/2}
\]
其中\(T\)为采样周期(\(T=1/f_{sample}\))。代入可得:
\[
v\left(t\right)=x\left(t\right)+n_{tv}\left(f,t\right)\cdot\frac{2s}{s+2f_{sample}}
\]
令\(s=\mathrm{j}w\),其中\(\omega\)为信号频率,得:
\[
v\left(t\right)=x\left(t\right)+n_{tv}\left(f,t\right)\cdot\frac{\mathrm{j}2\omega}{\mathrm{j}\omega+2f_{sample}}
\]
令\(N\left(f,t\right)=n_{tv}\left(f,t\right)\cdot\frac{\mathrm{j}2\omega}{\mathrm{j}\omega+2f_{sample}}\),得:
\[
\left|N\left(f,t\right)\right|=n_{tv}\left(f,t\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1/4+\left(\frac{f_{sample}}{\omega}\right)^2}}
\]
进一步的:
\[
\left|N\left(f,t\right)\right|=\sqrt{\frac{n_{tv}\left(f,t\right)^2}{1/4+\left(\frac{f_{sample}}
{\omega}\right)^2}}
\]
不妨令\(n_{tv}\left(f,t\right)=n_{tv}\left(t\right)\cdot \omega^\alpha\),则:
\[
\left|N\left(f,t\right)\right|=\sqrt{\frac{n_{tv}\left(\omega\right)^2}{\frac{1}{4\omega^{2\alpha}}+\left(\frac{f_{sample}}
{\omega^{1+\alpha}}\right)^2}}
\]
当\(f_{sample}>>\omega^{1+\alpha}\)时:
\[
v\left(t\right)=x\left(t\right)
\]
即,系统的噪声被消除。

但由于采样周期受传感器积分时间控制,不会过短,因此相关双采样可以用来消除时变低频噪声时不变噪声

SRH复合模型

SRH(Shockley-Read-Hall)复合模型描述了禁带仅有一个复合中心(即陷阱)时半导体内的复合状态。假设禁带中的陷阱为受主类型,即当它包含一个电子时,带负电;当它不包含电子时,不带电。

整个复合过程有四种基本模式:

  • 过程一:电中性的陷阱从导带捕获一个电子;
  • 过程二:带负电的陷阱向导带释放一个电子;
  • 过程三:带负电的陷阱从价带捕获一个空穴(即带负电的陷阱向价带释放一个电子);
  • 过程四:电中性的陷阱向价带释放一个空穴(即电中性的陷阱从价带捕获一个电子)。

下图给出了上述四个过程较为直观的解释:

对于过程一,空陷阱从导带中捕获电子的速率与导带中电子浓度以及空陷阱态密度成正比,即:
\[
R_{cn}=C_nN_t\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]n
\]
其中,\(R_{cn}\)、\(C_n\)、\(N_t\)和\(n\)分别表示电子捕获速率(\(\mathrm{\#\cdot cm^{-3}\cdot s^{-1}}\))、与电子捕获界面成比例的常数、陷阱中心总浓度和导带中电子浓度。此外,\(f_F\left(E_t\right)\)为陷阱能级处的费米函数,表示为:
\[
f_F\left(E_t\right)=\frac{1}{1+\exp{\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}}
\]
描述了陷阱中含有一个电子的概率。而\(\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]\)则表示陷阱为空的概率。

对于过程二,陷阱向导带中释放电子的速率与含有电子的陷阱的数目成正比,即:
\[
R_{en}=E_nN_tf_F\left(E_t\right)
\]
其中\(R_{en}\)和\(E_n\)分别表示电子释放速率(\(\mathrm{\#\cdot cm^{-3}\cdot s^{-1}}\))和与电子释放界面成比例的常数。

对于热平衡状态,缺陷从导带中捕获电子和向导带中释放电子的速率相等,因此有:
\[
R_{cn}=R_{en}
\]
由于热平衡态时,导带中电子数目为\(n_0\),代入得:
\[
C_nN_t\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]n_0=E_nN_tf_F\left(E_t\right)
\]
化简可得:
\[
E_n=n_0\frac{1-f_F\left(E_t\right)}{f_F\left(E_t\right)}C_n=n_0\exp{\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}C_n
\]
由于\(n_0=N_c\exp{\left[-\left(E_c-E_f\right)/kT\right]}\),代入得:
\[
E_n=N_c\exp{\left[\frac{-\left(E_c-E_t\right)}{kT}\right]}C_n
\]

\[
n’=N_c\exp{\left[\frac{-\left(E_c-E_t\right)}{kT}\right]}
\]
当系统处于非平衡态时,陷阱从导带中捕获电子的净速率为:
\[
R_n=R_{cn}-R_{en}=C_nN_t\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]n-E_nN_tf_F\left(E_t\right)
\]
将热平衡时推导出的\(E_n=n’C_n\)代入后可得:
\[
R_n=C_nN_t\left\{n\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]-n’f_F\left(E_t\right)\right\}
\]
同样的,对于过程三和过程四,陷阱从价带中捕获空穴的净速率为:
\[
R_p=C_pN_t\left\{pf_F\left(E_t\right)-p’\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]\right\}
\]
其中\(C_p\)为空穴捕获速率(\(\mathrm{\#\cdot cm^{-3}\cdot s^{-1}}\)),\(p’\)为:
\[
p’=N_v\exp{\left[\frac{-\left(E_t-E_v\right)}{kT}\right]}
\]
在陷阱较少的半导体中,过剩电子与空穴浓度相等且电子和空穴的复合速率相同。因此:
\[
C_nN_t\left\{n\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]-n’f_F\left(E_t\right)\right\}=C_pN_t\left\{pf_F\left(E_t\right)-p’\left[1-f_F\left(E_t\right)\right]\right\}
\]
化简后可得:
\[
f_F\left(E_t\right)=\frac{C_nn+C_pp’}{C_n\left(n+n’\right)+C_p\left(p+p’\right)}
\]
由于\(n’p’=n_i^2\),故而可以得到:
\[
R_n=R_p=\frac{C_nC_pN_t\left(np-n_i^2\right)}{C_n\left(n+n’\right)+C_p\left(p+p’\right)}\equiv R
\]

光子转移曲线

一、理论介绍

对于任意两个图像传感器,如果它们的标定参数大致相同,便难以区分出它们的性能差距。为了更好的表征图像传感器之间的差距,以及自身的各项参数,引入光子转移曲线这一概念,其主要思想如下:

  • 图像传感器输入光信号,输出数字信号;
  • 图像传感器的输入噪声只有光子散粒噪声;
  • 图像传感器的任何其它噪声都是由系统内部引起的。

图像传感器的输入光强与输出信号噪声的对数图被称为光子转移曲线,它用以表征图像传感器的各项噪声参数。

(一)理想情况

当图像传感器不存在任何噪声时,它的输出噪声仅由输入光激励导致的光子散粒噪声决定。光子转移曲线如下图所示:

可以发现,当系统不存在噪声时,光子转移曲线是一条斜率为\(1/2\)的直线。因为光子散粒噪声\(\sigma_{ph}^2\)与单位时间内入射到像素上的光子数\(N\)满足如下关系:
\[
\sigma_{ph}^2=N
\]
表现到对数图上便是斜率为\(1/2\)且过原点的直线。

(二)非理想情况

上述光子转移曲线仅存在于系统无噪声的理想情况。实际上,现实系统中总是含有各类噪声,因此光子转移曲线更可能接近下图的形式:

可以发现,上图大致分为三个区域:读出噪声散粒噪声以及固定图形噪声

  • 当光激励较弱时,读出噪声占主导地位,其主要由系统的读出电路(放大器等)导致,它不随激励的增强而增大,是系统的噪声下限;
  • 当光激励逐渐增强时,光子散粒噪声占据主导地位,光子转移曲线表现为一条斜率为\(1/2\)的直线,并随着光激励的强增而增大;
  • 当光激励进一步增强时,固定图形噪声(FPN)占据主导地位,它是由工艺不均匀以及光子响应不均匀(PRNU)导致的,且与光激励呈线性关系;
  • 当光激励增强到一定程度后,单个像素已无法储存更多的电荷,因此会导致原本像素中储存的电荷分散到周围像素中,产生串扰,在降低信号的同时也降低了噪声,因此曲线最后会出现下降。

由于FPN能够被后期的图像处理算法(如均场校正)抑制掉,因此常见的光子转移曲线并不包含斜率为\(1\)的FPN段,如下图所示:

二、测试方法

光子转移曲线的测试方法如下:

  • 首先,在图像传感器上施加一精确控制的均匀光场,可以用积分球和单色光实现;
  • 其次,将光源强度和ADC范围内都调节至像素的满阱容量;
  • 接着,将光源从无光缓慢调节至满阱光强,每次获取均场校正后的图像;
  • 最后,根据公式计算光子转移曲线:\(\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N{\left(x_i-m\right)^2}}{2N}\)
    • 其中\(x_i\)为均场校正后的图像,\(m\)为图像\(x_i\)的均值,\(N\)为像素总数。

三、参数提取

  • 读出噪声:系统的读出噪声\(\sigma_R\)可以直接由无光照情况下的光子转移曲线得到;
  • 增益:系统的增益\(G\)表现为\(\mathrm{ADU}/e^-\),即每个电子对应的ADC计数值。当输入光强增加为\(X
    \)时,系统的信号为\(GX\),同时噪声方差为\(G^2X\)。因此,只需要在线性域绘制出输入光强和噪声方差的曲线,即可得到系统的增益\(G\);
  • 满阱:系统的满阱\(FW\)可由光子转移曲线未下降前ADC的最大计数值除以增益达到:\(FW=\mathrm{ADU}_{MAX}/G\);
  • 动态范围:系统的动态范围\(DR\)可由满阱时ADC计数值除以最小可探测信号得到:\(DR=\frac{\mathrm{ADU}_{MAX}}{\sigma_R}\);
  • 积分非线性:为了得到系统的积分非线性,首先对图像传感器的响应进行拟合,得到最大正偏差\(\mathrm{E}_{MAX}\)和最大负偏差\(\mathrm{E}_{MIN}\),则积分非线性为:\(\mathrm{INL}=\frac{\mathrm{E}_{MAX}-\mathrm{E}_{MIN}}{\mathrm{ADU}_{MAX}}\times100\%\);
  • 有效位数:\(\mathrm{ENOB}=\log_2{\frac{\mathrm{ADU}_{MAC}}{\sigma_R}}\)。

谱密度与自相关函数

一、能量信号与功率信号

设有一随时间变化的信号\(x\left(t\right)\),在进行能量分析时,不加区分地将其视为施加在电阻\(R=1\mathrm{\Omega}\)上的的电流。将该单位电阻上的能量属性,视为该信号的能量属性。

因此,信号\(x\left(t\right)\)的总能量为:
\[
E=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{T}{I^2R\mathrm{d}t}}=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{T}{x\left(t\right)\mathrm{d}t}}
\]
同理,信号\(x\left(t\right)\)的功率为:
\[
P=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x^2\left(t\right)\mathrm{d}t}}
\]
对于不同的信号,上述两种极限不一定都存在,由此可以区分出能量信号和功率信号。若\(E\)的极限存在,则称该信号为能量信号;若\(P\)的极限存在,则称该信号为功率信号

二、谱密度

(一)能量信号

对于一能量信号,其傅里叶变换为:
\[
X\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\left(t\right)e^{-\mathrm{j\omega t}}\mathrm{d}t}
\\
E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\omega}
\]
因此,很容易分离出各个频率分量对应的能量,即\(\mathrm{d}E=\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\left(\omega/2\pi\right)\)。对\(\mathrm{d}E\)积分即可得到信号的总能量,故而\(\left|X\left(\omega\right)\right|^2\)定义为能量谱密度,简称能量谱,表示信号在某一频段的集中程度。量纲为\(\mathrm{V\cdot s/Hz}\)。

(二)功率信号

1、周期功率信号

对于周期功率信号而言,只需对其有限长时间内的信号进行周期延拓即可。考虑到周期信号在时间上无始无终,能量必定是无限的,但功率可能是有限的。对其作傅里叶展开可得:
\[
x\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_n\sin{\left(n\Omega_0 t+\varphi_n\right)}},\quad \Omega_0=\frac{2\pi}{T}
\]
表示为复指数形式:
\[
x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{\mathrm{j}n\Omega_0 t}}
\]
对于周期信号的平均功率,只需要计算其单个周期内的平均功率即可:
\[
P=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x^2\left(t\right)\mathrm{d}t}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T_0}{\left[\sum_{n=1}^{\infty}{A_n\sin{\left(n\Omega_0 t+\varphi_n\right)}}\right]^2\mathrm{d}t}
\]
或:
\[
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T_0}{\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{\mathrm{j}n\Omega_0 t}}\right)^2\mathrm{d}t}
\]
利用二项展开以及三角函数的正交性化简可得:
\[
P=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_n^2/2\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{P_n}
\]
或:
\[
P=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{\left(\left|c_n\right|^2/2\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{P_n^*}
\]
其中\(A_n\)是周期信号中频率为\(n\Omega_0\)的谐波分量的幅值,\(A_n^2/2\)是周期信号中频率为\(n\Omega_0\)的谐波分量的功率。即:周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和

如果以频率为横坐标,功率为纵坐标,即可得到功率随频率的分布。可以观察到,周期信号的功率谱中频率分布是离散的、等间距的,其间隔长度为基频\(\Omega_0=2\pi/T_0\)。如果将\(P_n\)在区间\(\left[n\Omega_0,\left(n+1\right)\Omega_0\right]\)平均化为\(P_n/\Omega_0\),即可得到一条连续的分布曲线\(G\left(\omega\right)\),其物理意义就是频率\(\omega\)上的功率密度,即功率谱密度,量纲为\(\mathrm{V^2/Hz}\)。功率谱密度对频率的积分即为信号功率:
\[
P=\int_0^\infty{G\left(\omega\right)\mathrm{d}\omega}
\]
此外,还可以引入冲激函数来描述功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{P_n\cdot\delta\left(\omega-n\Omega_0\right)}
\]
当我们以三角函数对功率进行展开时,幅值\(A_n\)为实数,\(n\)为正值,此时功率谱密度\(G\left(\omega\right)\)为单边功率谱密度;当我们以复指数对功率进行展开时,系数\(C_n\)为复数,\(n\)为全体整数,此时功率谱密度\(S\left(\omega\right)\)为双边功率谱密度。二者关系为:
\[
A_n=2\left|C_n\right|\quad\Rightarrow\quad G\left(\omega\right)=2S\left(\omega\right)
\]

2、非周期功率信号

非周期功率信号可以用周期功率信号的思路来推广,即取周期\(T_0\rightarrow\infty\)。此时有\(\Omega_0\rightarrow 0\)和\(A_n\rightarrow 0\)。因此,所有频率的谱值\(P_n\)均为无穷小。但功率谱密\(G\left(\omega\right)=P_n/\Omega_0\)却为有限值,可用于描述信号的功率分布,即功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{P_n}{\Omega_0}}
\]
此外,还可通过对信号的截断来计算非周期信号的功率谱密度。将信号\(x\left(r\right)\)在区间\(\left[-T,T\right]\)上截断后所得的信号\(x_0\left(t\right)\)则为能量信号。对其进行傅里叶变换后可得\(x_0\left(t\right)\)的能量谱密度为\(\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2\),随着截断时间\(2T\rightarrow\infty\),截断信号\(x_0\left(t\right)\)逼近于功率信号,其能量谱密度\(\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2\rightarrow\infty\),而其时间平均则为有限值,即功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2}
\]

三、自相关函数

自相关函数\(R\left(\tau\right)\)描述了信号\(x\left(t\right)\)在任意两个不同时刻的状态之间的相关程度,即整个随机过程中任意两个时刻之间的线性相关性。
\[
R\left(\tau\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)x\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t}
\]

(一)自相关函数与卷积的关系

自相关函数的操作包含平移乘积积分三个步骤,而卷积操作则比它多了一个信号反褶的操作,其定义如下:
\[
x\left(t\right)*y\left(t\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)y\left(\tau-t\right)\mathrm{d}t}
\]
由此可得:
\[
R\left(\tau\right)=x\left(t\right)*x\left(-t\right)
\]

(二)自相关函数与功率谱密度的关系

根据维纳辛钦(Winner-Khintchine)定理,平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数互为傅里叶变换。证明如下:

设有一信号\(x\left(t\right)\),则信号功率根据帕塞瓦尔(Parseval)定理可以表示为:
\[
P=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}{x\left(t\right)^2\mathrm{d}t}}=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{+T}{\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\omega}}
\]
其中\(X\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\),由此可得:
\[
P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}}\mathrm{d}t}
\]
则\(G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}\)为功率信号\(x\left(t\right)\)的功率谱密度。

令\(x^{\left(k\right)}\left(t\right)\)为平稳随机信号\(\left\{x\left(t\right)\right\}\)的一个样本,则其功率谱密度为
\[
G^{\left(k\right)}\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}}
\]
因为\(x^{\left(k\right)}\left(t\right)\)是\(\left\{x\left(t\right)\right\}\)的一个样本,因此其功率谱密度\(G^{\left(k\right)_X\left(\omega\right)}\)将会随着样本的不同而发生变化。对于平稳随机信号而言,其功率谱密度的定义为\(G\left(\omega\right)=E\left[P^{\left(k\right)}_X\left(\omega\right)\right]\)。由此可得:
\[
G(\omega)=E\left[\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X(\omega)\right|^2}{2T}}\right]
\]

\[
G(\omega)=E\left[\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{+T}{\int_{-T}^{+T}{x^{(k)}\left(t_1\right)x^{(k)}\left(t_2\right)e^{-\mathrm{j}\omega \left(t_1-t_2\right)}\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2}}}\right]
\]

利用自相关函数的定义可得:
\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{+T}{\int_{-T}^{+T}{R\left(t_1-t_2\right)e^{-\mathrm{j}\omega \left(t_1-t_2\right)}\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2}}}
\]
令\(\tau=t_1-t_2\),做积分变量代换可得:
\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-2T}^{+2T}{\int_{-T-\tau}^{+T-\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left[\int_{0}^{+2T}{\int_{-T+\tau}^{+T-\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}+\int_{-2T}^{0}{\int_{-T-\tau}^{+T+\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left[\int_{0}^{+2T}{\left(2T-2\tau\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}+\int_{-2T}^{0}{\left(2T+2\tau\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\left[\int_{0}^{+2T}{\left(1-\frac{\tau}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}+\int_{-2T}^{0}{\left(1+\frac{\tau}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-2T}^{+2T}{\left(1-\frac{\left|\tau\right|}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}}
\]

\[
G(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}
\]

同时,有下式成立:
\[
R\left(\tau\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{G\left(\omega\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\omega}
\]
因此,平稳随机信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅里叶变换对